Теорема котангенсов

Теорема котангенсов — тригонометрическая теорема, связывающая радиус вписанной окружности треугольника с длиной его сторон. Теорему котангенсов удобно использовать при решении треугольника по трём сторонам.

Формулировка

Пусть

${\displaystyle a,b,c}$ — длины трёх сторон треугольника,

${\displaystyle A,B,C}$ — углы, лежащие напротив, соответственно, сторон ${\displaystyle a,b,c}$,

${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности треугольника и

${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$ — полупериметр треугольника.

Тогда справедливы следующие формулы:^[1]

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {A}{2}}={\frac {p-a}{r}}}$,

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {B}{2}}={\frac {p-b}{r}}}$,

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}={\frac {p-c}{r}}}$,

или эквивалентно:

${\displaystyle {\frac {p-a}{\mathrm {ctg} (A/2)}}={\frac {p-b}{\mathrm {ctg} (B/2)}}={\frac {p-c}{\mathrm {ctg} (C/2)}}=r}$.

Словами теорему можно сформулировать так: котангенс половинного угла равен разности отношения полупериметра и длины противолежащей стороны указанного угла к радиусу вписанной окружности.

Обобщение

В сферической тригонометрии существует похожая формула для половины угла, а также двойственная к ней формула половины стороны.

Следствия

Из теоремы котангенсов может быть получено выражение для радиуса вписанной окружности ${\displaystyle r={\sqrt {{\frac {1}{p}}(p-a)(p-b)(p-c)}}}$. Далее, так как площадь треугольника ${\displaystyle S=pr}$, из теоремы котангенсов следует формула Герона.

См. также

• Теорема косинусов
• Теорема о проекциях
• Теорема синусов
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формулы Мольвейде

Примечания

См. также

• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции

Эта страница в последний раз была отредактирована 26 февраля 2024 в 10:59.