Суперсовершенное число

Суперсовершенное число — натуральное число n, такое, что:

${\displaystyle \sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n\,,}$

где σ является суммой делителей числа n^[1]. Несмотря на название, суперсовершенные числа не являются обобщением совершенных чисел. Термин был придуман Д. Сурьянараяной в 1969 году^[2].

Суперсовершенные числа образуют последовательность: 2, 4, 16, 64, 4096, 65 536, 262 144, … (последовательность A019279 в OEIS).

Все чётные суперсовершенные числа имеют вид ${\displaystyle 2^{p}}$, где ${\displaystyle 2^{p+1}-1}$ — простое число Мерсенна.

Неизвестно, существуют ли нечётные суперсовершенные числа. В 2000 году Хансакер и Померанс доказали, что не существует нечётных суперсовершенных чисел, меньших, чем ${\displaystyle 7\times 10^{24}}$^[3].

Обобщения

Совершенные и суперсовершенные числа являются простейшими примерами широкого класса m-суперсовершенных чисел, которые удовлетворяют:

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=2n,}$

при m=1 и 2 соответственно^[2].

m-суперсовершенные числа в свою очередь являются частным случаем (m, k)-совершенных чисел, которые удовлетворяют^[4]:

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=kn,}$.

В этих обозначениях, совершенные числа — (1,2)-совершенные числа, мультисовершенные числа — (1,k)-совершенные числа, суперсовершенные числа — (2,2)-суперсовершенные числа и m-суперсовершенные числа — (m,2)-совершенные числа.

Примеры классов (m, k)-совершенных чисел:

Примечания

Литература

• Cohen, G. L. and te Riele, J. J. «Iterating the Sum-of-Divisors Function.» Experim. Math. 5, 93-100, 1996.
• Guy, R. K. «Superperfect Numbers.» §B9 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 65-66, 1994.
• Kanold, H.-J. "Über 'Super Perfect Numbers.' " Elem. Math. 24, 61-62, 1969.
• Lord, G. «Even Perfect and Superperfect Numbers.» Elem. Math. 30, 87-88, 1975.
• Sloane, N. J. A. Sequence A019279 in «The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.»
• Suryanarayana, D. «Super Perfect Numbers.» Elem. Math. 24, 16-17, 1969.
• Suryanarayana, D. «There Is No Odd Super Perfect Number of the Form p^(2alpha).» Elem. Math. 24, 148—150, 1973.

Эта страница в последний раз была отредактирована 8 декабря 2023 в 20:40.