Неравенство Чебышёва

Нера́венство Чебышёва (или неравенство Бьенеме — Чебышёва) — неравенство в теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Бьенеме в 1853 году, и позже также Чебышёвым (в статье «О средних величинах» 1867 года).

Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.

В теории меры

Неравенство Чебышёва в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва также используется для доказательства вложения пространства ${\displaystyle L_{p}}$ в слабое пространство <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math alttext="{\displaystyle L_{p}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{p}}</annotation> </semantics> </math></span><img alt="{\displaystyle L_{p}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40060f367b8045868f06b72a6600969b07acaed" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.642ex; height:2.843ex;"/></span>.

Формулировки

• Пусть ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ — пространство с мерой. Пусть также
  • ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$
  • ${\displaystyle \phi (x)\geqslant 0}$ — суммируемая на ${\displaystyle A}$ функция
  • ${\displaystyle c>0}$.

Тогда справедливо неравенство:

${\displaystyle \mu {\bigl (}\{x:x\in A,\phi (x)\geqslant c\}{\bigr )}\leqslant {\frac {1}{c}}\int \limits _{A}\phi (x)\mu (dx)}$.

• В более общем виде:

Если ${\displaystyle g}$ — неотрицательная вещественная измеримая функция, неубывающая на области определения ${\displaystyle \phi }$, то

${\displaystyle \mu {\bigl (}\{x\in A\,:\,\,\phi (x)\geqslant t\}{\bigr )}\leqslant {1 \over g(t)}\int _{A}g\circ \phi \,\mu (dx).}$

• В терминах пространства ${\displaystyle L_{p}}$:

Пусть ${\displaystyle \phi (x)\in L_{p}}$. Тогда ${\displaystyle \mu {\Bigl (}{\bigl \{}x\in A\,{\big |}\,|\phi (x)|>t{\bigr \}}{\Bigr )}\leqslant {\frac {\|\phi \|_{p}^{p}}{t^{p}}}.}$

Неравенство Чебышёва может быть получено как следствие из неравенства Маркова.

В теории вероятностей

Неравенство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. А более точно, оно даёт оценку вероятности того, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего.

Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Формулировки

Пусть случайная величина ${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ определена на вероятностном пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, а её математическое ожидание ${\displaystyle \mu }$ и дисперсия ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ конечны. Тогда

${\displaystyle \mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}}$,

где ${\displaystyle a>0}$.

Если ${\displaystyle a=k\sigma }$, где ${\displaystyle \sigma }$ — стандартное отклонение и ${\displaystyle k>0}$, то получаем

${\displaystyle \mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant k\sigma \right)\leqslant {\frac {1}{k^{2}}}}$.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на ${\displaystyle 2}$ стандартных отклонения, с вероятностью меньше ${\displaystyle 25\%}$. Отклоняется от среднего на ${\displaystyle 3}$ стандартных отклонения с вероятностью меньше ${\displaystyle 11.12\%}$. Иными словами, случайная величина укладывается в ${\displaystyle 2}$ стандартных отклонения с вероятностью ${\displaystyle 75\%}$ и в ${\displaystyle 3}$ стандартных отклонения с вероятностью ${\displaystyle 88.88\%}$

Для важнейшего случая одномодальных^[англ.] распределений неравенство Высочанского — Петунина существенно усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь 4/9. Таким образом, граница в ${\displaystyle 3}$ стандартных отклонения включает ${\displaystyle 95.06\%}$ значений случайной величины. В отличие от нормального распределения, где ${\displaystyle 3}$ стандартных отклонения включают ${\displaystyle 99.73\%}$ значений случайной величины.

См. также

• Оценка Чернова

Литература

• Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• коллектив авторов. Московский математический сборник. — М., 1867. — Т. 2.

Ссылки

• Видеолекция о случайных величинах, неравенствах Маркова и Чебышёва
• П. Л. Чебышевъ, «О среднихъ величинахъ», Матем. сб., 2:1 (1867), 1-9

Эта страница в последний раз была отредактирована 11 декабря 2023 в 14:39.