Спектр оператора

Спектр оператора — множество чисел, характеризующее линейный оператор. Применяется в линейной алгебре, функциональном анализе и квантовой механике.

Конечномерный случай

Пусть A — оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве E. Спектром оператора (обычно обозначается ${\displaystyle \sigma (A)}$) называется множество его собственных значений.

Квадратную матрицу порядка ${\displaystyle n}$ можно рассматривать как линейный оператор в n-мерном пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины. В этом случае говорят о спектре матрицы.

Общее определение

Пусть A — оператор, действующий в банаховом пространстве E над ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Число λ называется регулярным для оператора A, если оператор ${\displaystyle R(\lambda )=(A-\lambda I)^{-1}}$, называемый резольвентой оператора A, определён на всём E и непрерывен. Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора ${\displaystyle \sigma (A)}$. Спектр ограниченного оператора представляет собой компакт в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ или является пустым. Спектр линейного ограниченного оператора непуст.

Внутри спектра оператора можно выделять части, не одинаковые по своим свойствам. Одной из основных классификаций спектра является следующая:

1. дискретным (точечным) спектром ${\displaystyle \sigma _{p}(A)}$ называется множество таких ${\displaystyle \lambda }$, при которых оператор ${\displaystyle A-\lambda I}$ не инъективен. Дискретный спектр является множеством всех собственных значений оператора A; в конечномерном случае присутствует только точечный спектр;
2. непрерывным спектром ${\displaystyle \sigma _{c}(A)}$ называется множество значений ${\displaystyle \lambda }$, при которых резольвента ${\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}}$ определена на всюду плотном множестве в E, но не является непрерывной (то есть оператор ${\displaystyle A-\lambda I}$ инъективен, но не сюръективен, а его образ всюду плотен);
3. остаточным спектром ${\displaystyle \sigma _{r}(A)}$ называется множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части (то есть оператор ${\displaystyle A-\lambda I}$ инъективен, не сюръективен, причем его образ не является всюду плотным).

Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через ${\displaystyle r(A)}$. При этом выполняется равенство ${\displaystyle r(A)=\lim _{n\to \infty }\|A^{n}\|^{1/n}}$.

В комплексном случае резольвента является голоморфной операторнозначной функцией на резольвентном множестве. В частности, при ${\displaystyle \lambda >r(A)}$ она может быть разложена в ряд Лорана с центром в точке ${\displaystyle z=0}$.

Разность двух максимальных по абсолютной величине значений из спектра называется спектральной щелью (англ. spectral gap).

В квантовой механике

Спектр самосопряжённых операторов играет важную роль в квантовой механике, определяя множество возможных значений наблюдаемой при измерении. В частности, спектр гамильтониана определяет допустимые уровни энергии квантовой системы.

Непрерывный спектр в квантовой механике

Непрерывный спектр — это спектр значений физической величины, в котором в отличие от дискретного спектра значение этой величины определено для каждого собственного состояния системы, причем бесконечно малое изменение состояния системы приводит к бесконечно малому изменению физической величины. В качестве физической величины могут выступать: координата, импульс, энергия, орбитальный момент движения и т. д. Так как произвольная волновая функция ${\displaystyle \Psi }$ может быть разложена в ряд по собственным функциям величины с дискретным спектром, то она может быть также разложена и в интеграл по полной системе собственных функций величины с непрерывным спектром.

См. также

• Проектор (алгебра)
• Спектр алгебры

Литература

• Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 5 Слу — Я. — 1248 с.

Эта страница в последний раз была отредактирована 2 января 2023 в 16:11.