Метод регуляризации Тихонова

Метод регуляризации Тихонова — алгоритм, позволяющий находить приближённое решение некорректно поставленных операторных задач вида ${\displaystyle Ax=u}$. Был разработан А. Н. Тихоновым в 1965 году^[1]. Основная идея заключается в нахождении приближённого решения уравнения ${\displaystyle Ax=u}$ в виде ${\displaystyle x_{\delta }=R(u_{\delta },\alpha )}$, где ${\displaystyle R(u_{\delta },\alpha )}$ — регуляризирующий оператор. Он должен гарантировать, что при приближении ${\displaystyle u_{\delta }}$ к точному значению ${\displaystyle u_{T}}$ при ${\displaystyle \delta \to 0}$ приближённое решение ${\displaystyle x_{\delta }}$ стремилось бы к желаемому точному решению ${\displaystyle x_{T}}$ уравнения ${\displaystyle Ax_{T}=u_{T}}$^[2].

Регуляризирующий оператор

Оператор ${\displaystyle R(u,\alpha )}$, зависящий от параметра ${\displaystyle \alpha }$, называется регуляризующим для уравнения ${\displaystyle Ax=u}$, если он обладает свойствами:

• Определён для всякого ${\displaystyle \alpha >0}$ и любого ${\displaystyle u\in U}$.
• Если выполняется ${\displaystyle Ax_{T}=u_{T}}$, то существует такое ${\displaystyle \alpha (\delta )}$, что для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся такое ${\displaystyle \delta (\varepsilon )}$, что если ${\displaystyle \rho _{U}(u_{T},u_{\delta })\leqslant \delta (\varepsilon )}$, то ${\displaystyle \rho _{F}(x_{T},x_{\alpha })\leqslant \varepsilon }$, где ${\displaystyle x_{\alpha }=R(u_{\delta },\alpha )}$, ${\displaystyle \alpha =\alpha (\delta )}$, ${\displaystyle \rho _{U}}$ — метрика в пространстве ${\displaystyle U}$ (то есть ${\displaystyle \rho _{U}(u_{T},u_{\delta })}$ — расстояние между векторами ${\displaystyle u_{T}}$ и ${\displaystyle u_{\delta }}$), а ${\displaystyle \rho _{F}}$ — метрика в пространстве ${\displaystyle X}$.

Способ построения регуляризирующих операторов

Для широкого класса уравнений ${\displaystyle Ax=u}$ А. Н. Тихонов показал, что решение задачи ${\displaystyle x_{\alpha }}$ минимизации функционала ${\displaystyle M^{\alpha }\left[u_{\delta },x\right]=\rho _{U}^{2}(Ax,u_{\delta })^{2}+\alpha \Omega \left[x\right]}$ можно рассматривать как результат применения регуляризирующего оператора, зависящего от параметра ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x_{\alpha }=R_{1}(u_{\delta },\alpha )}$. Функционал ${\displaystyle \Omega \left[x\right]}$ называется стабилизатором задачи ${\displaystyle Ax=u}$.

Пример применения

Найдём нормальное (наиболее близкое к началу координат) решение ${\displaystyle X}$ системы линейных уравнений ${\displaystyle AX=B}$ с точностью, соответствующей точности задания элементов матрицы ${\displaystyle A}$ и столбца ${\displaystyle B}$ в случае, когда значения элементов матрицы ${\displaystyle A}$ и столбца свободных членов ${\displaystyle B}$ заданы лишь приближённо.

Постановка задачи

Рассмотрим систему линейных уравнений в матричной форме: ${\displaystyle AX=B}$. Назовем сферическими нормами величины ${\displaystyle \|B\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}b_{i}^{2}}},\|X\|={\sqrt {\sum _{j=1}^{n}x_{j}^{2}}},\|A\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}^{2}}}}$. Обозначим как ${\displaystyle {\tilde {A}},{\tilde {B}}}$ известные приближённые значения элементов матрицы ${\displaystyle A}$ и столбца ${\displaystyle B}$. Матрицу ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ и столбец ${\displaystyle {\tilde {B}}}$ будем называть ${\displaystyle \delta }$-приближением матрицы ${\displaystyle A}$ и столбца ${\displaystyle B}$, если выполняются неравенства ${\displaystyle \|A-{\tilde {A}}\|<\delta ,\|B-{\tilde {B}}\|<\delta }$. Введём в рассмотрение функционал ${\displaystyle F(X,{\tilde {A}},{\tilde {B}})=\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|^{2}+\alpha \|X\|^{2}}$. Теорема Тихонова сводит вопрос о приближённом нахождении нормального решения системы уравнений ${\displaystyle AX=B}$ к отысканию того элемента ${\displaystyle X^{\alpha }}$, на котором достигает минимальное значение этот функционал.

Теорема Тихонова

Пусть матрица ${\displaystyle A}$ и столбец ${\displaystyle B}$ удовлетворяют условиям, обеспечивающим совместность системы ${\displaystyle AX=B}$, ${\displaystyle X^{0}}$ — нормальное решение этой системы, ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ — ${\displaystyle \delta }$-приближение матрицы ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle {\tilde {B}}}$ — ${\displaystyle \delta }$-приближение столбца ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle \varepsilon \left(\delta \right)}$ и ${\displaystyle \alpha \left(\delta \right)}$ — какие-либо убывающие функции ${\displaystyle \delta }$, стремящиеся к нулю при ${\displaystyle \delta \rightarrow +0}$ и такие, что ${\displaystyle \delta ^{2}\leqslant \varepsilon \left(\delta \right)\alpha \left(\delta \right)}$. Тогда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся положительное число ${\displaystyle \delta _{0}}$ такое, что при любом ${\displaystyle \delta <\delta _{0}}$ и при любом ${\displaystyle \alpha }$, удовлетворяющем условию ${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon \left(\delta \right)}}\delta ^{2}\leqslant \alpha \leqslant \alpha \left(\delta \right)}$, элемент ${\displaystyle X^{\alpha }}$, доставляющий минимум функционалу ${\displaystyle F\left(X,{\tilde {A}},{\tilde {B}}\right)={\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|}^{2}+\alpha {\|X\|}^{2}}$, удовлетворяет неравенству ${\displaystyle \|X^{\alpha }-X^{0}\|\leqslant \varepsilon }$^[3][4].

Примечания

Литература

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — М.: Физматлит, 2004. — 280 с. — ISBN 5-9221-0481-0.
• Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1979. — 283 с.
• Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. — М.: Наука, 1974. — 430 с.

Эта страница в последний раз была отредактирована 22 мая 2023 в 12:03.