Лемма Накаямы

Лемма Накаямы — важная техническая лемма в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии, следствие правила Крамера. Названа именем Тадаси Накаямы.

Формулировки

Она имеет множество эквивалентных формулировок. Вот одна из них:

Пусть R — коммутативное кольцо с единицей 1, I — идеал в R, а M — конечнопорождённый модуль над кольцом R. Если IM = M, тогда существует a ∈ I такой, что для всякого m ∈ M am = m.

Доказательство леммы. Пусть $m_{1},m_{2},...,m_{n}$ — образующие модуля M. Так как M = IM, каждый из них представим в виде

m_{i}=a_{i1}m_{1}+a_{i2}m_{2}+\dots +a_{in}m_{n}

, где

a_{ij}

— элементы идеала I. То есть

\sum \limits _{j}(\delta _{ij}-a_{ij})m_{j}=0

(где

\delta _{ij}

- символ Кронекера) .

Из формулы Крамера для этой системы следует, что при всяком j

\operatorname {det} (\delta _{ij}-a_{ij})\cdot m_{j}=0

Так как $\operatorname {det} (\delta _{ij}-a_{ij})$ представим в виде 1 − a, a из I, лемма доказана.

Следующее следствие из доказанного утверждения также известно как лемма Накаямы:

Следствие 1: Если в условиях леммы идеал I обладает свойством, что для каждого его элемента a элемент 1 − a обратим (например, это так, если I содержится в радикале Джекобсона), необходимо должно быть M = 0.

Доказательство. Существует элемент a идеала I, такой что aM = M, следовательно, (1 − a)M = 0, домножая слева на элемент, обратный к 1 − a, получаем, что M = 0.

Применение к модулям над локальными кольцами

Пусть R — локальное кольцо, ${\mathfrak {m}}$ — максимальный идеал в R, M — конечнопорождённый R-модуль, и $\phi :M\to M/{\mathfrak {m}}M$ — гомоморфизм факторизации. Лемма Накаямы даёт удобное средство для перехода от модуля M над локальным кольцом R к фактормодулю $M/{\mathfrak {m}}M$ , которое есть конечномерное векторное пространство над полем $R/{\mathfrak {m}}$ . Следующее утверждение также считается одной из форм леммы Накаямы, применительно к этому случаю:

Элементы $m_{1},m_{2},...,m_{n}\in M$ порождают модуль M тогда и только тогда, когда их образы $\phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})$ порождают фактормодуль $M/{\mathfrak {m}}M$ .

Доказательство. Пусть S — подмодуль в M, порождённый элементами $m_{1},m_{2},...,m_{n}$ , Q = M/S — фактормодуль и $\pi :M\to Q$ — гомоморфизм факторизации. Так как $\phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})$ порождают фактормодуль $M/{\mathfrak {m}}M$ , это означает, что для всякого $m\in M$ существует $s\in S$ , такой что $m-s\in {\mathfrak {m}}M$ . Тогда $\pi (m)=\pi (m-s)\in {\mathfrak {m}}Q$ . Поскольку $\pi$ сюръективно, это означает, что $Q={\mathfrak {m}}Q$ . По лемме Накаямы (точнее, согласно Следствию 1) Q=0, то есть S=M.

Имеется ещё один вариант леммы Накаямы для модулей над локальными кольцами:

Пусть $\phi :\,M\to N$ — гомоморфизм конечнопорождённых R-модулей. Он индуцирует гомоморфизм фактормодулей $\phi _{0}:\,M/{\mathfrak {m}}M\to N/{\mathfrak {m}}N$ . Эти гомоморфизмы сюръективны или не сюръективны одновременно.