Кратномасштабный анализ

Кратномасштабный анализ (КМА) является инструментом построения базисов вейвлетов. Он был разработан в 1988/89 гг. Малла и И. Мейром. Идея кратномасштабного анализа заключается в том, что разложение сигнала производится по ортогональному базису, образованному сдвигами и кратномасштабными копиями вейвлетной функции. Свертка сигнала с вейвлетами позволяет выделить характерные особенности сигнала в области локализации этих вейвлетов.

Понятие кратномасштабного анализа (КМА) является фундаментальным в теории вейвлетов. Для кратномасштабного анализа разработан быстрый каскадный алгоритм вычислений, подобный быстрому преобразованию Фурье.

Определение

При выполнении КМА пространство сигналов ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ представляется в виде системы вложенных подпространств ${\displaystyle V_{j}\subset L^{2}(\mathbb {R} ),j\in \mathbb {Z} ,}$, отличающихся друг от друга перемасштабированием независимой переменной. Таким образом, кратномасштабным анализом (КМА) в ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ называется совокупность замкнутых пространств ${\displaystyle V_{j}(\mathbb {R} ),j\in \mathbb {Z} ,}$ если выполнены некоторые условия.

(1) Условие вложенности:

${\displaystyle V_{j}\subset V_{j+1}}$ для всех ${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$. Все пространство сигналов ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ в целом может быть представлено в виде последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств соответствующих уровней ${\displaystyle m}$ декомпозиции сигнала;

(2) Условие полноты и плотности разбиения:

${\displaystyle \bigcup \limits _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}}$ плотно в ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} );}$

(3) Условие ортогональности подпространств:

${\displaystyle \bigcap \limits _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}={0};}$

(4) Условие сохранения в подпространстве при сдвигах функций:

${\displaystyle f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(t+1)\in V_{j};}$

(5) Масштабное преобразование любой функции ${\displaystyle f(t)\in V_{j}}$ по аргументу в 2 раза перемещает функцию в соседнее подпространство:

${\displaystyle f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(2t)\in V_{j+1};}$

${\displaystyle f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(t/2)\in V_{j-1};}$

(6) Существует ${\displaystyle r(t)\in V_{0}}$, целочисленные сдвиги которой по аргументу образуют ортонормированный базис пространства ${\displaystyle V_{0}}$:

${\displaystyle f_{0,k}(t)=f(t-k),k\in \mathbb {Z} .}$ Функция ${\displaystyle r(t)}$ называется скейлинг-функцией (scaling function).

Свойства

Обозначим сдвиги и растяжения функции ${\displaystyle f:}$ ${\displaystyle f_{k,n}(x)=2^{k/2}f(2^{k}x+n),k,n\in \mathbb {Z} .}$

• Для любого ${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$ функции ${\displaystyle \varphi _{j,n},n\in \mathbb {Z} }$ образуют ортонормированный базис в ${\displaystyle V_{j}.}$

• Если ${\displaystyle f\in V_{j},}$ то ${\displaystyle f(\cdot \pm 2^{-j})\in V_{j},j\in \mathbb {Z} }$.

• Функция ${\displaystyle \varphi }$ из условия (5) называется масштабирующей для данного КМА.

Построение ортогональных базисов всплесков

Пусть ${\displaystyle \{V_{j}\}_{j\in \mathbb {Z} }}$ образуют КМА. Обозначим через ${\displaystyle W_{j}}$ ортогональное дополнение к ${\displaystyle V_{j}}$ в пространстве ${\displaystyle V_{j+1}.}$ Тогда пространство ${\displaystyle V_{j+1}}$ раскладывается в прямую сумму ${\displaystyle V_{j+1}=V_{j}\bigoplus W_{j}.}$ Таким образом, проводя последовательное разложение пространств ${\displaystyle V_{j}}$ и учитывая условие (3), получим ${\displaystyle V_{j+1}=\bigoplus \limits _{i=-\infty }^{j}W_{i}.}$ А используя условие (2), имеем: ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} )={\overline {\bigoplus \limits _{j=-\infty }^{\infty }W_{j}}}.}$

Таким образом, пространство ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} )}$ разложено в прямую сумму попарно ортогональных подпространств ${\displaystyle W_{j}.}$ Важным является то, что функция ${\displaystyle \varphi }$ порождает другую функцию ${\displaystyle \psi \in W_{0},}$ целочисленные сдвиги которой являются ортонормированным базисом в ${\displaystyle W_{0}.}$ Построение такой ${\displaystyle \psi }$ может быть осуществлено при помощи следующей теоремы.

Пусть ${\displaystyle \{V_{j}\}_{j\in \mathbb {Z} }}$ — КМА с масштабирующей функцией ${\displaystyle \varphi ,}$ ${\displaystyle m_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }h_{n}e^{2\pi in\xi }}$ — её маска, система ${\displaystyle \{\varphi _{0n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$ является ортонормированной,

${\displaystyle \psi :=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }(-1)^{1-n}h_{1-n}\varphi _{1n}.}$

Тогда функции ${\displaystyle \psi _{jn},j,n\in \mathbb {Z} }$ образуют ортонормированный базис пространства ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ).}$

Многомерный КМА

В общем случае ${\displaystyle n-}$мерного пространства ортонормированный базис образует ${\displaystyle 2^{n}-1}$ функций, при помощи которых осуществляется КМА любой функции их ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ пространства, при этом нормировочный множитель равен ${\displaystyle 2^{nm/2}}$.

Примечания

• Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets, (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1
• Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А., Теория Всплесков, (2005), Физматлит, Москва, ISBN 5-9221-0642-2

Эта страница в последний раз была отредактирована 20 января 2022 в 01:24.