Задача Пипса

Задача Ньютона-Пипса или же Задача Пипса — вероятностная задача, касающаяся вероятности выпадения шестерок из определенного количества игральных костей.

В 1693 году Сэмюэл Пипс и Исаак Ньютон вели переписку по поводу проблемы, поставленной перед Пипсом школьным учителем по имени Джон Смит. Проблема заключалась в:

Какое из следующих трех предложений имеет наибольшие шансы на успех?

A. Шесть честных кубиков бросаются независимо друг от друга, и выпадает по крайней мере одна цифра «6».

B. Двенадцать честных кубиков бросаются независимо и выпадают по крайней мере две «6».

C. Восемнадцать честных кубиков бросаются независимо и выпадают по крайней мере три «6».

Сэмюэл Пипс изначально думал, что результат C имеет наибольшую вероятность, но Исаак Ньютон правильно заключил, что результат A на самом деле имеет наибольшую вероятность.

Решение

Вероятности исходов A, B и C равны:

Эти результаты могут быть получены путем применения биномиального распределения (хотя Ньютон получил их из первых принципов). В общем случае, если P(n) — вероятность выпадения по крайней мере n шестерок из 6n кубиков, то:

По мере роста n P(n) монотонно уменьшается к асимптотическому пределу 1/2.

Пример в R

Решение, изложенное выше, может быть реализовано в R следующим образом:

для (s в 1:3) {          # ищем s = 1, 2 или 3 шестерки
  n = 6*s                 # ... в n = 6, 12 или 18 кубиках
  q = pbinom(s - , n, 1/6) # q = Prob( < s шестерок в n кубиках)
  cat("Вероятность не менее", s, "шестерка в", n, "честные кости":, 1-q, "\n")
}

Объяснение Ньютона

Хотя Ньютон правильно рассчитал шансы каждой ставки, он предоставил Пипсу отдельное интуитивное объяснение. Он представил, что B и C бросают свои кости группами по шесть, и сказал, что A является наиболее благоприятным, потому что требуется 6 только за один бросок, в то время как B и C требуют 6 за каждый из своих бросков. Это объяснение предполагает, что группа не производит более одного 6, поэтому оно фактически не соответствует исходной задаче.

Обобщения

Естественным обобщением задачи является рассмотрение n необязательно честных кубиков с p вероятностью того, что каждый кубик выберет 6 граней при броске (обратите внимание, что на самом деле количество граней кубика и то, какая грань должна быть выбрана, не имеет значения). Если r — это общее количество игральных костей, выбирающих 6 граней, то это вероятность того, что по крайней мере k правильных выборов при броске ровно n кубиков. Тогда исходную задачу Ньютона-Пипса можно обобщить следующим образом:

Пусть будут натуральными положительными числами s.t. . Тогда не меньше, чем для всех n, p, k?

Обратите внимание, что при таком обозначении исходная задача Ньютона-Пипса читается как: является ?

Как отмечено в работе Рубина и Эванса (1961), не существует единообразных ответов на обобщенную задачу Ньютона-Пипса, поскольку ответы зависят от k, n и p. Тем не менее, существуют некоторые вариации предыдущих вопросов, которые допускают единообразные ответы:

(из Чаунди и Булларда (1960)):

Если являются положительными натуральными числами, и, то .

Если являются положительными натуральными числами, и, то .

(из Вараньоло, Пиллонетто и Шенато (2013)):

Если являются положительными натуральными числами, и тогда .

Ссылки

1. ^ Перейти к:^{a b}
2. ^ Чаунди, Т.В., Буллард, Дж. Э., 1960. «Проблема Джона Смита». Математический вестник 44, 253—260.
3. ^ Перейти к:^{a b}
4. ^ Чаунди, Т.В., Буллард, Дж. Э., 1960. «Проблема Джона Смита». Математический вестник 44, 253—260.
5. ^ D. Varagnolo, L. Schenato, G. Pillonetto, 2013. «Вариация задачи Ньютона-Пса и ее связи с задачами оценки размера». Письма о статистике и вероятности 83 (5), 1472—1478.

Эта страница в последний раз была отредактирована 20 апреля 2023 в 04:58.