У этого термина существуют и другие значения, см.
Дифференциал .
Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения .
Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению .
Энциклопедичный YouTube
1 / 5
Просмотров: 34 984
131 603
706
29 116
1 050
Математический анализ, 10 урок, Производная высших порядков. Дифференциал
Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия
Смирнов С. В. - Дифференциальная геометрия - Гиперповерхности
Смирнов С. В. - Дифференциальная геометрия - Символы Кристофеля
Содержание
Обозначения
Обычно дифференциал
f
{\displaystyle f}
обозначается
d
f
{\displaystyle df}
.
Некоторые авторы предпочитают обозначать
d
f
{\displaystyle \operatorname {d} f}
шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором .
Дифференциал в точке
x
{\displaystyle x}
обозначается
d
x
f
{\displaystyle d_{x}f}
, а иногда
d
f
x
{\displaystyle df_{x}}
или
d
f
[
x
]
{\displaystyle df[x]}
.
(
d
x
f
{\displaystyle d_{x}f}
есть линейная функция на касательном пространстве в точке
x
{\displaystyle x}
.)
Если
v
{\displaystyle v}
есть касательный вектор в точке
x
{\displaystyle x}
, то значение дифференциала на
v
{\displaystyle v}
обычно обозначается
d
f
(
v
)
{\displaystyle df(v)}
, в этом обозначении
x
{\displaystyle x}
излишне, но обозначения
d
x
f
(
v
)
{\displaystyle d_{x}f(v)}
,
d
f
x
(
v
)
{\displaystyle df_{x}(v)}
и
d
f
[
x
]
(
v
)
{\displaystyle df[x](v)}
также правомерны.
Используется так же обозначение
f
∗
{\displaystyle f_{*}}
;
последнее связано с тем, что дифференциал
f
:
M
→
N
{\displaystyle f\colon M\to N}
является естественным поднятием
f
{\displaystyle f}
на касательные расслоения к многообразиям
M
{\displaystyle M}
и
N
{\displaystyle N}
.
Определения
Для вещественнозначных функций
Пусть
M
{\displaystyle M}
— гладкое многообразие и
f
:
M
→
R
{\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }
гладкая функция.
Дифференциал
f
{\displaystyle f}
представляет собой 1-форму на
M
{\displaystyle M}
, обычно обозначается
d
f
{\displaystyle df}
и определяется соотношением
d
f
(
X
)
=
d
p
f
(
X
)
=
X
f
,
{\displaystyle df(X)=d_{p}f(X)=Xf,}
где
X
f
{\displaystyle Xf}
обозначает производную
f
{\displaystyle f}
по направлению касательного вектора
X
{\displaystyle X}
в точке
p
∈
M
{\displaystyle p\in M}
.
Для отображений гладких многообразий
Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие
F
:
M
→
N
{\displaystyle F\colon M\to N}
есть отображение между их касательными расслоениями ,
d
F
:
T
M
→
T
N
{\displaystyle dF\colon TM\to TN}
, такое что для любой гладкой функции
g
:
N
→
R
{\displaystyle g\colon N\to \mathbb {R} }
имеем
[
d
F
(
X
)
]
g
=
X
(
g
∘
F
)
,
{\displaystyle [dF(X)]g=X(g\circ F),}
где
X
f
{\displaystyle Xf}
обозначает производную
f
{\displaystyle f}
по направлению
X
{\displaystyle X}
. (В левой части равенства берётся производная в
N
{\displaystyle N}
функции
g
{\displaystyle g}
по
d
F
(
X
)
{\displaystyle dF(X)}
; в правой — в
M
{\displaystyle M}
функции
g
∘
F
{\displaystyle g\circ F}
по
X
{\displaystyle X}
).
Это понятие естественным образом обобщает понятия дифференциала функции.
Связанные определения
Точка
x
{\displaystyle x}
многообразия
M
{\displaystyle M}
называется критической точкой отображения
f
:
M
→
N
{\displaystyle f:M\to N}
, если дифференциал
d
x
f
:
T
x
M
→
T
f
(
x
)
N
{\displaystyle d_{x}f:T_{x}M\to T_{f(x)}N}
не является сюръективным (см. также теорема Сарда )
Например, критические точки функций
R
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
— в точности стационарные точки. Для функций
R
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
это точки, в которых матрица дифференциала вырождается.
В этом случае
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
называется критическим значением
f
{\displaystyle f}
.
Точка
y
∈
N
{\displaystyle y\in N}
называется регулярной , если она не является критической.
Гладкое отображение
F
:
M
→
N
{\displaystyle F\colon M\to N}
называется субмерсией , если для любой точки
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
, дифференциал
d
x
F
:
T
x
M
→
T
F
(
x
)
N
{\displaystyle d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N}
сюръективен .
Гладкое отображение
F
:
M
→
N
{\displaystyle F\colon M\to N}
называется гладким погружением , если для любой точки
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
, дифференциал
d
x
F
:
T
x
M
→
T
F
(
x
)
N
{\displaystyle d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N}
инъективен .
Свойства
Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:
d
(
F
∘
G
)
=
d
F
∘
d
G
{\displaystyle d(F\circ G)=dF\circ dG}
или
d
x
(
F
∘
G
)
=
d
G
(
x
)
F
∘
d
x
G
{\displaystyle d_{x}(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_{x}G}
Примеры
Пусть в открытом множестве
Ω
⊂
R
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} }
задана гладкая функция
f
:
Ω
→
R
{\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }
. Тогда
d
f
=
f
′
d
x
{\displaystyle df=f'\,dx}
, где
f
′
{\displaystyle f'}
обозначает производную
f
{\displaystyle f}
, а
d
x
{\displaystyle dx}
является постоянной формой, определяемой
d
x
(
V
)
=
V
{\displaystyle dx(V)=V}
.
Пусть в открытом множестве
Ω
⊂
R
n
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}
задана гладкая функция
f
:
Ω
→
R
{\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }
. Тогда
d
f
=
∑
i
=
1
n
∂
f
∂
x
i
d
x
i
{\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}}
. Форма
d
x
i
{\displaystyle dx_{i}}
может быть определена соотношением
d
x
i
(
V
)
=
v
i
{\displaystyle dx_{i}(V)=v_{i}}
, для вектора
V
=
(
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
)
{\displaystyle V=(v_{1},\;v_{2},\;\ldots ,\;v_{n})}
.
Пусть в открытом множестве
Ω
⊂
R
n
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}
задано гладкое отображение
F
:
Ω
→
R
m
{\displaystyle F\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{m}}
. Тогда
d
x
F
(
v
)
=
J
(
x
)
v
,
{\displaystyle d_{x}F(v)=J(x)v,}
где
J
(
x
)
{\displaystyle J(x)}
есть матрица Якоби отображения
F
{\displaystyle F}
в точке
x
{\displaystyle x}
.
См. также
Эта страница в последний раз была отредактирована 15 августа 2021 в 20:48.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.