Директриса

Субтитры

Здравствуйте! Давайте проведем прямую и запишем уравнение этой прямой. Поскольку прямая расположена вдоль оси Х, то у равен какой-то константе. Итак, уравнение этой прямой у=k, где k – какая-то константа. И предположим, есть еще какая-то точка, назовем ее фокусом, потому что она и будет фокусом. Вот эта точка. Ее координаты пусть будут а и b. Теперь давайте подумаем о множестве точек, или о геометрическом месте точек, каждая из которых одинаково удалена от этой точки (от фокуса) и от этой прямой. Эту прямую называют директрисой. Давайте это запишем. Думаю, до этого вы вряд ли слышали это слово в качестве термина, касающегося параболы и конических сечений. Итак, это директриса, а это фокус. Мы хотим найти все точки координатной плоскости ХУ, которые одинаково удалены от этого фокуса и от этой директрисы. Мы можем сразу отметить одну точку. Она бросается в глаза. Эта точка находится чётко между фокусом и директрисой. Отметим еще другие точки. Эта точка также равноудаленная. Расстояние от нее до фокуса точно такое же, как и до этой прямой (до директрисы). Обратите внимание, мы берем кратчайшие расстояния до фокуса и до директрисы. Мы можем, конечно, рассматривать и такое расстояние. Но оно не будет кратчайшим между точкой и прямой. По сути, мы опускаем перпендикуляр из этой точки на прямую. Аналогично и эта точка также будет равноудалена от фокуса и от директрисы. Вы, я так думаю, наверное, уже догадываетесь, какая фигура у нас в результате получится. Стоит только посмотреть на название видео, и все станет понятно. Это множество точек будет выглядеть приблизительно вот так. Напоминает параболу. И это на самом деле парабола. На этом уроке я докажу вам, что это действительно будет парабола. И сделаю я это математическим способом, а не просто нарисовав такой рисунок. Исходя из этого изображения, мы тоже можем сказать, что в результате получится парабола. Если мы возьмем эту точку, то она расположена на одинаковом расстоянии от фокуса и от прямой. Можем продлить ветви параболы и сравнить расстояния до других точек, принадлежащих кривой. Но я считаю, что этого недостаточно. Давайте математическим путем докажем, что геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от этой точки, называемой фокусом, и от этой прямой, называемой директрисой, действительно является параболой. Итак, возьмем какую-то точку из этого геометрического места точек. Например, вот эту. Это точка с координатами (х;у). Нам нужно найти все иксы и игреки, которые удовлетворяют следующему условию: расстояние от фокуса до точки равно расстоянию от этой же точки до директрисы. А чему равно расстояние от (х;у) до фокуса? Чему равно это расстояние? Обозначим его как d1. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками. Это будет х минус абсцисса фокуса, то есть х-а в квадрате. Это разность абсцисс двух точек в квадрате… плюс разность ординат двух точек в квадрате, то есть плюс у-b в квадрате. И все это под корнем квадратным. Только что мы записали расстояние от точки до фокуса. Это d1. Вот это выражение равно d1. Напомню, что нам нужно найти все иксы и игреки, при которых расстояние от точки до фокуса равно расстоянию от точки до директрисы. Обозначим расстояние до директрисы через d2. Итак, расстояние до фокуса должно равняться расстоянию до директрисы, то есть d1 должно равняться d2. А как найти d2? Так как значение абсциссы остается неизменным (ведь мы просто опускаемся вертикально вниз), нам достаточно просто вычислить разность ординат двух точек. Значит, это будет равно у-k. Это разность ординат. В данном случае у действительно больше k. Ну, а что если бы эта точка находилась ниже директрисы? Я ничего не говорила о том, что точки могут быть расположены только над директрисой. Это нам еще нужно будет доказать. И поскольку мы не уверены, что в правой части получится положительное значение, давайте поставим модуль. Или же можно возвести у-k в квадрат, а потом извлечь корень квадратный. Все это мы делаем для того, чтобы в результате не получить отрицательное расстояние. Перед нами уравнение, которое описывает все значения х и у, при которых расстояние от точки с координатами (х;у) до фокуса равно расстоянию от этой же точки до директрисы. Теперь давайте посмотрим, на самом ли деле это уравнение параболы. В первую очередь мы возведем обе части выражения в квадрат и избавимся от знака корня в обеих частях. Итак, это будет х-а в квадрате плюс у-b в квадрате равно у-k в квадрате. Сейчас вряд ли можно распознать в этом выражении уравнение параболы. У нас есть и х в квадрате, и у в квадрате. Но, как говорится, еще не вечер. Продолжаем упрощать. х-а в квадрате… давайте возведем оставшиеся два двучлена в квадрат. Значит, плюс у в квадрате минус 2уb плюс b в квадрате равно у в квадрате минус 2уk плюс k в квадрате. Попробуем это как-то упростить. У нас есть у в квадрате в левой части и в правой, значит, мы можем вычесть у в квадрате из обеих частей уравнения. Игреки в квадрате сокращаются. О! Это уже больше похоже на уравнение параболы. По сути, теперь это уравнение, в котором у выражен через х в квадрате. Я предлагаю еще немного поработать над этим выражением и привести его к уравнению параболы, которое мы привыкли видеть. Итак, х-а в квадрате минус 2уb плюс b в квадрате равно минус 2уk плюс k в квадрате. Давайте перенесем все игреки и константы в одну часть уравнения. В правой части уже есть минус 2уk и k в квадрате. Давайте перенесем 2уb и b в квадрате из левой в правую часть. Тогда это будет х-а в квадрате равно… Если мы прибавим 2уb к обеим частям уравнения, тогда в правой части будет 2уb минус 2уk. И нам еще нужно отнять b в квадрате от обеих частей уравнения. Здесь тогда мы запишем еще минус b в квадрате и плюс k в квадрате. Обратите внимание, то, что я перенесла из левой части в правую, записано малиновым цветом. Попробуем еще как-то упростить это выражение. Напомню, что мы хотим привести это выражение к уравнению, с которым мы обычно ассоциируем параболу. Давайте запишем это уравнение в уголке. Мы пытаемся привести выражение выше к уравнению вида х-а в квадрате равно у-b. Немного не так. Давайте я перепишу: А<i>(х-…</i> а уже было, нужен какой-то другой параметр, например, v. … х-v (это может быть и любая другая буква) в квадрате равно у-b. Это стандартный вид уравнения параболы. Именно к такому виду я и хочу привести наше выражение. Когда мы это сделаем, мы докажем, что на самом деле имеем дело с параболой. Нам достаточно будет только сопоставить члены нашего уравнения с членами стандартного. Отличаться будут только буквы. И если это действительно будет парабола, то потом я еще расскажу, как вычислить фокус и директрису параболы. Но не будем пока загадывать. Разберемся сначала с нашим уравнением. Попробуем еще немного упростить это выражение. Итак, х-а в квадрате равно…. Если мы вынесем за скобки 2у, то получится b… пожалуй, вынесем сначала только у. Это будет (2b-2k)<i>у…</i> А вот последние два члена я бы хотела сгруппировать. Вы согласны, что в результате сложения получится константа? Мы к одной константе в квадрате прибавляем еще одну константу в квадрате. Следовательно, мы можем записать, что это минус b в квадрате минус k в квадрате. Если мы откроем скобки и умножим все на минус 1, то получим минус b в квадрате плюс k в квадрате. Это одно и то же. Теперь здесь вынесем за скобки еще 2. Тогда получится: х-a в квадрате равно 2<i>(b-k)у минус…</i> Далее идет разность квадратов. Это то же самое, что и (b+k)(b-k). Если вы не поняли, что я только что сделала, то советую вам повторить тему формул сокращенного умножения. Обратите внимание, у нас здесь и здесь b-k. Теперь давайте умножим обе части уравнения на единицу, деленную на 2(b-k), чтобы в результате остался один игрек, без коэффициента. Итак, мы умножаем обе части уравнение на единицу, деленную на 2(b-k). Тогда в левой части получится единица, деленная на 2(b-k), умножить на х-а в квадрате равно… не забываем, что мы делим обе части уравнения на 2(b-k). Значит, остается у минус… а если мы разделим эту часть выражения на 2(b-k), то b-k сократится, останется только (b+k)/2. И мне кажется, что мы уже привели наше уравнение к стандартному уравнению параболы. Здесь у нас А, а здесь единица, деленная на 2(b-k). v – это вот эта а. у – это у. А константа минус b – вот она. Вот мы и доказали, что геометрическое место точек, которые одинаково удалены от этой точки с координатами (а;b), так называемого фокуса, и от этой прямой, так называемой директрисы, представляет собой параболу. Это и есть определение параболы. Надеюсь, вы поняли, что каждая точка параболы расположена на одинаковом расстоянии как от фокуса, так и от директрисы, т.е. отношение расстояния от любой ее точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы равно 1. Если же поменяется это отношение и станет, например, равно 1/2, то в результате получится уже какое-то другое коническое сечение (эллипс). Или же, например, если будет равно 2, это будет уже гипербола. Это все очень интересно. На первом уроке я говорила, что конические сечения получаются путем пересечения различных плоскостей с конусом. Но то, что мы сейчас рассмотрели, – тоже способ получения конических сечений. Только что мы выяснили, что геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от фокуса и директрисы, является параболой. Теперь предположим, что парабола у нас уже есть, и зачастую она задается формулой у=х². Но глядя на эту формулу, мы ничего не можем сказать ни о директрисе, ни о фокусе. Поэтому давайте запишем это уравнение в следующем виде (я возьму абсолютно другие буквы). Итак, у-у1 равно А<i>(х-х1) в квадрате.</i> Запомните, что х1 или у1 это всегда константы. Если же мы имеем дело с х и у, то это переменные. Итак, у1 и х1 – это константы. Мы могли вместо них подставить а и b. Это не столь важно. Итак, это уравнение параболы. И мы хотим найти фокус и директрису. Как мы можем это сделать? Давайте соотнесем эти два уравнения. Выражение перед скобками – это А, х1 – это а. Давайте это запишем: х1=а. Независимо от значения х, х1 будет абсциссой фокуса параболы. В данном случае координатами вершины будут (х1;у1). Не хотелось бы вас запутать. Поэтому все остальное мы рассмотрим на следующем уроке. До скорой встречи!