Двугранный угол

Двугранный угол — пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями^[1].

Определения и свойства

Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая прямая — ребром.

Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. Таким образом, чтобы измерить двугранный угол, можно взять любую точку на его ребре и перпендикулярно ребру провести из неё лучи в каждую из граней. Линейный угол между этими двумя лучами и будет равен по величине двугранному углу. Если один из лучей не перпендикулярен ребру, то величина линейного угла между лучами в общем случае будет отлична от величины двугранного угла. Например, в любой двугранный угол (в том числе больший 90 градусов) можно поместить прямой угол так, чтобы его вершина лежала на ребре двугранного угла, а стороны принадлежали его граням. В этом легко убедиться, размещая угольник в приоткрытой книге.

У всякого многогранника, правильного или неправильного, выпуклого или вогнутого, есть двугранный угол на каждом ребре.

Величины двугранных углов правильных многогранников:

Название	точный двугранный угол в радианах	приближённое значение в градусах
Тетраэдр	arccos(1/3)	70.53°
Гексаэдр или куб	π/2	90°(точн.)
Октаэдр	π − arccos(1/3)	109.47°
Додекаэдр	2·arctg(φ)	116.56°
Икосаэдр	2·arctg(φ + 1)	138.19°

где φ = (1 + √5)/2 — золотое сечение.

Вариации и обобщения

Двугранным углом также называется пересечение двух полупространств в $n$ -мерном евклидовом пространстве.

Примечания

↑ Д’Аламбера оператор — Кооперативная игра // «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 2. — С. 50. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.